Как решить "3^x-2^x=65"?

[zwh]

Наткнулся где-то мимоходим на уравнение "3^x - 2^x = 65", и там было еще, что типа оно вызвало затруднения. Я же решил: "Да ща я тут его быстренько отлогорифмирую по полной!", потом сообразил: "А с минусом чё делать?" В общем, если у кого математически продвинутого есть какие идеи, может, поделитесь?

[Geoalex]

Наткнулся где-то мимоходим на уравнение "3^x - 2^x = 65", и там было еще, что типа оно вызвало затруднения. Я же решил: "Да ща я тут его быстренько отлогорифмирую по полной!", потом сообразил: "А с минусом чё делать?" В общем, если у кого математически продвинутого есть какие идеи, может, поделитесь?

А в чём сложность? Я эти ваши логарифмы успешно забыл, но разве чисто арифметически икс не равен 4?

[Hellerick]

Как решить

Подбором.

[Toman]

А если бы там было некое произвольное число, которое не соответствует первым небольшим целым x?

[bvs]

По-моему, в общем виде оно аналитически не решается, только частные случаи (например если в (а^x + b^x = c) b выражается через целочисленную степень a).

[Витамин Ц]

"Да ща я тут его быстренько отлогорифмирую по полной!", потом сообразил: "А с минусом чё делать?"

Заменить плюсом и ужо потом логарифмировать
3^x - 2^x = 65
3^x = 65 + 2^x
Вот: ЛОГ₃(65 + 2^x) = Х — логарифмируйте

[Awwal]

ЛОГ₃(65 + 2^x)

И как это логарифмировать?..

[Витамин Ц]

И как это логарифмировать?..

Ну тогда корень извлеките

3^x - 2^x = 65
3^x = 65 + 2^x

3 = ^х√(65 + 2^x)

[Awwal]

Спасибо, стало гораздо лучше. 

[Боровик]

После подбора корня нужно доказать, что выражение слева монотонно возрастает. Ergo, других корней нет

[zwh]

Решил-таки обратиться за помощью к Железному разуму, и вот что получил:

Данное уравнение не может быть решено аналитически, т.е. нельзя выразить x в явном виде через элементарные функции. Однако, можно использовать численные методы для приближенного решения.

Один из таких методов - метод половинного деления:

1. Заметим, что при x = 6 левая часть равна 3^6 - 2^6 = 729 - 64 = 665, а при x = 7 левая часть равна 3^7 - 2^7 = 2187 - 128 = 2059, т.е. корень находится между 6 и 7.

2. Разобьем интервал [6, 7] пополам и проверяем, в каком из двух подинтервалов находится корень. Для этого вычисляем значение левой части уравнения при x = (6+7)/2 = 6.5.

3. Если значение левой части больше 65, то корень находится в левом подинтервале, т.е. между 6 и 6.5, иначе - в правом подинтервале, т.е. между 6.5 и 7.

4. Повторяем шаги 2-3 на выбранном подинтервале, пока не достигнем нужной точности. Например, можно остановиться, когда длина текущего подинтервала становится меньше заданной допустимой ошибки, например, 0.001.

Итак, начинаем:

- Левый конец отрезка: a = 6
- Правый конец отрезка: b = 7
- Проверяем промежуточное значение для x = (a + b) / 2 = 6.5
- Подставляем x = 6.5 и получаем значение левой части уравнения: f(x) = 3^6.5 - 2^6.5 ≈ 244,51
- Видим, что f(x) > 65, значит корень находится между a и x, т.е. новый правый конец отрезка равен b = 6.5
- Проверяем промежуточное значение для x = (a + b) / 2 = 6.25
- Подставляем x = 6.25 и получаем значение левой части уравнения: f(x) = 3^6.25 - 2^6.25 ≈ 130,56
- Видим, что f(x) > 65, значит корень находится между a и x, т.е. новый правый конец отрезка равен b = 6.25
- Проверяем промежуточное значение для x = (a + b) / 2 = 6.125
- Подставляем x = 6.125 и получаем значение левой части уравнения: f(x) = 3^6.125 - 2^6.125 ≈ 89,38
- Видим, что f(x) > 65, значит корень находится между a и x, т.е. новый правый конец отрезка равен b = 6.125
- Проверяем промежуточное значение для x = (a + b) / 2 = 6.0625
- Подставляем x = 6.0625 и получаем значение левой части уравнения: f(x) = 3^6.0625 - 2^6.0625 ≈ 78,81
- Видим, что f(x) > 65, значит корень находится между a и x, т.е. новый правый конец отрезка равен b = 6.0625
- Проверяем промежуточное значение для x = (a + b) / 2 = 6.03125
- Подставляем x = 6.03125 и получаем значение левой части уравнения: f(x) = 3^6.03125 - 2^6.03125 ≈ 72,17
- Видим, что f(x) > 65, значит корень находится между a и x, т.е. новый правый конец отрезка равен b = 6.03125
- Проверяем промежуточное значение для x = (a + b) / 2 = 6.015625
- Подставляем x = 6.015625 и получаем значение левой части уравнения: f(x) = 3^6.015625 - 2^6.015625 ≈ 68,43
- Видим, что f(x) > 65, значит корень находится между a и x, т.е. новый правый конец отрезка равен b = 6.015625

И так далее. Можно продолжать, пока не достигнем требуемой точности. Например, для практических целей можно ограничиться, скажем, пятью-десятью итерациями. В итоге получим приближенное значение корня уравнения: x ≈ 6.019562.

[Боровик]

После подбора корня нужно доказать, что выражение слева монотонно возрастает. Ergo, других корней нет

UPD
Пусть f(x)=3^x-2^x. Решаем равенство f(x)=65.

Как выше написали, подбором находим корень f(4)=65. Далее нужно доказать, что иных корней нет.

Легко показать (в лоб), что при x<0 f(x)<0. Следовательно, отрицательных корней нет.

f(0)=0 - не корень.

Для x>0 несложно показать, что f'(x)>0, т.е. f(x) монотонно возрастает. Таким образом, корень может быть только один, и он уже известен.

Занавес.

[Боровик]

1. Заметим, что при x = 6 левая часть равна 3^6 - 2^6 = 729 - 64 = 665, а при x = 7 левая часть равна 3^7 - 2^7 = 2187 - 128 = 2059, т.е. корень находится между 6 и 7.

Это вы какое-то другое уравнение решаете.

[zwh]

1. Заметим, что при x = 6 левая часть равна 3^6 - 2^6 = 729 - 64 = 665, а при x = 7 левая часть равна 3^7 - 2^7 = 2187 - 128 = 2059, т.е. корень находится между 6 и 7.

Это вы какое-то другое уравнение решаете.

Да, я заметил, что ChatGPT там в цифрах налагал. Но главное-то, что нельзя решить аналитически, но можно методом половинного деления.